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¿Pueden tener un «PMF-PDF» juntos?

Esta es una pregunta que siempre me ha costado entender:

  • Para una variable aleatoria discreta, puede tener una «Función de masa de probabilidad» (PMF): para varias variables aleatorias discretas, puede modelar sus probabilidades conjuntas utilizando una «Función de masa de probabilidad conjunta».

  • Para una variable aleatoria continua, puede tener una «Función de distribución de probabilidad» (PDF): para varias variables aleatorias continuas, puede modelar sus probabilidades conjuntas utilizando una «Función de densidad de probabilidad conjunta».

Esto me lleva a mi pregunta: Suponga que tiene tres variables aleatorias discretas X1, X2 y X3, y suponga que también tiene tres variables aleatorias continuas X4, X5, X6: ¿Es posible crear una función de probabilidad conjunta para estas 6 variables como P(X1, X2, X3 , X4, X5, X6)? ¿Podría tener también una función de probabilidad condicional P(X1 | X2 = x2, X3 = x3, X4 = x4, X5 = x5, X6 = x6)? ¿O es esto por definición imposible?

¡Gracias!

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Esto es posible. Es la teoría de la medida estándar y se hace de la misma manera que si todas las variables aleatorias fueran continuas o discretas: tienes un espacio de probabilidad $(\Omega,F,p)$ y tus variables aleatorias $X_i$ son todos, por definición, mapas medibles de $\Omega$ al espacio medible $(\matemáticas{R}, B)$ de numeros reales $\matemáticas{R}$dónde $B$ es el campo sigma generado por los conjuntos abiertos. La diferencia entre variables aleatorias continuas y discretas es simplemente que la imagen de las variables aleatorias discretas es discreta.

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