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¿Cómo encontrar las tétradas nulas covariantes de las tétradas nulas contravariantes?

Tétrada nula para la métrica de Schwarzschild en las lecturas de coordenadas de Eddington-Finkelstein
$$ds^2=Fdv^2-2dvdr-r^2(d\theta^2+sen\theta d\phi^2)$$
con $F=(1-2m/r)$. Tenemos la siguiente tétrada nula:
$$l^a=(0,1,0,0),$$
$$ n^a=(-1,-\frac{F}{2},0,0),$$
$$m^a=\frac{1}{\sqrt{2}r}(0,0,1,\frac{i}{sen\theta}).$$
¿Cómo obtener la expresión de tétradas nulas covariantes utilizando las coordenadas de Eddington-Finkelstein a partir de las tétradas nulas contravariantes? Hay dos métricas, así que no entiendo cómo hacer esto.

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