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¿Cómo encuentro la forma de una ecuación de onda dadas las condiciones iniciales?

Probablemente esto sea trivial, pero tengo problemas para encontrar la solución correcta dados los datos que tengo y las soluciones generales para la ecuación de onda clásica que conozco. En esencia, me piden que encuentre $ \ Perros (x, t) $ conocimiento:

$$\Psi(x,0)=él^{-x^2/2a^2}\\ \dot{\Psi}(x,0)=0$$

Siendo la solución: $\Psi(x,t)=\frac{h}{2}\left(e^{-(x-vt)^2/2a^2} + e^{-(x+vt)^2/2a ^2} \derecho)$ lo que obviamente es correcto. Ahora, las soluciones a la ecuación de onda se pueden escribir en términos que dependen de $e^{i(kx+peso)},e^{-i(kx+peso)}$etc. Ahora, puedo ver que quizás uno podría escribir $ \ Psi (x, 0) = he^{(ix/\ sqrt {2} a)^2} $ para obtener las unidades imaginarias, pero ¿de dónde sale el cuadrado? ¿Cómo es esta una solución a la ecuación de onda, y cómo la encuentras en general sin solo adivinar?

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