¿El teorema de la energía cinética implica que cualquier cuerpo sobre el que se ejerce la misma fuerza dependiente del espacio es igualmente acelerado?

Entonces, tenemos un cuerpo. $P_1$ de masa $m$ que viaja desde $A$ para $B$ a lo largo de una línea recta, sobre la cual se ejerce una fuerza constante $F$ depende únicamente de la posición de $P_1$. Sabemos que el trabajo realizado es $W_{P_1} = \frac{1}{2}m(v_{1A}-v_{1B})^2$siendo la expresión entre paréntesis la diferencia de velocidad de $A$ para $B$. Ahora, supongamos que un segundo cuerpo $P_2$ con la misma masa $m$ viaja desde $A$ para $B$. Sabemos que el trabajo depende solo de la trayectoria y de la fuerza, por lo que el trabajo $W_B$ sobre $B$ satisface $W_B = W_A$por lo tanto $\frac{1}{2}m(v_{1A}-v_{1B})^2 = \frac{1}{2}m(v_{2A}-v_{2B})^2$ y $(v_{1A}-v_{1B})^2=(v_{2A}-v_{2B})^2$. Suponiendo una fuerza opuesta a la dirección del movimiento, concluimos:$v_{1A}-v_{1B}=v_{2A}-v_{2B}$en otras palabras, el cambio de velocidad sobre la trayectoria $AB$ de ambos cuerpos no depende de su velocidad inicial. Pero sé que esto es falso: ¿hay alguna falacia en mi lógica? ¿En mis matemáticas? ¿Dónde estoy cometiendo un error?