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Fuerza electrostática sobre el electrón, oscilación con frecuencia angular w

Un electrón está restringido al eje central del anillo cargado de radio $R$como se muestra en la figura 22-11 a continuación, con $z$ mucho menos que $R$.

Demuestre que la fuerza electrostática sobre el electrón puede hacer que oscile a través del centro del anillo con una frecuencia angular
$$ \omega = \sqrt{\frac{eq}{4\pi\epsilon_0 m R^3}} $$
donde $q$ es la carga del anillo y $m$ es la masa del electrón.

figura 22-11

Por favor ayuda… ¡Gracias!

3 respuestas
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Necesitas calcular la fuerza electrostática del anillo sobre el electrón. La imagen sugiere que calcules el campo eléctrico debido a un pequeño segmento del anillo. La carga de ese pequeño segmento es $\displaystyle{dq=\frac{ds}{2\pi R}q}$.

Calcular el campo eléctrico a una distancia z del origen. al hacerlo, solo calcule el componente z del campo eléctrico porque el componente horizontal se cancela. A continuación, obtenga la fuerza sobre el electrón debida a este campo. En el denominador obtienes (R al cuadrado + z al cuadrado) elevado a 3/2. y z en el numerador. Para electrones cerca del origen en el eje z, z << R y z pueden despreciarse. Esto da una fuerza sobre el electrón cerca del origen en el eje z como constante xz/R3 que es R cubo. Dado que omega al cuadrado es la fuerza de retorno por unidad de desplazamiento por unidad de masa. Obtienes la respuesta.

Es simplemente fácil, no hay necesidad de confundir o complicar el problema. Aquí está el método para que sea fácil ………

La frecuencia angular es (w) Torque= -PE SINx Como bien sabemos Torque(T)= Ia. { inercia×aceleración angular} Entonces Ia= -PESINx [SINx is small so it replaced by x ]
a=-PEx/I a= -PE/I × x (a= -w^2 x) Comparar W=√PE/I Dipolo–P=2rq € {r= radio del círculo… 2r=distancia entre a las cargas (es el diámetro; cargas presentes en lados opuestos del diámetro)} E=kq/r^2 Sustituye W=√kq/r^2 × 2rq × 1/mr^2 (mr^2 es la inercia del círculo( anillo)) W=√kq^2/mr^3

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