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Gas de electrones libres unidimensional: densidad de estados

He calculado la densidad de estados (de hecho razono con el módulo k y no con la energía) para electrones libres en una caja 1D de tamaño L.

Dije que el número de estados entre $k$ y $ k + dk $ es:

$$ 2*\frac{dk}{\left(\frac{2 \pi}{L}\right)} *2$$

Pero tengo de «*2» demasiado.

El primer *2 es para el giro, y el segundo que puse es porque en 1D puedo tener el $\overrightarrow{k}$ y $-\overrightarrow{k}$ estados que se dan (también se dan en 2D y en 3D pero se toman automáticamente porque integramos sobre los ángulos).

Pero parece que mi segundo *2 no debe estar aquí.

¿Dónde está mi error cuando digo que tengo que tomar las dos direcciones posibles para $\overrightarrow{k}$ ?

[edit] De hecho, el problema está parcialmente resuelto. En el curso que leo no ponen el *2 pero no es problema. De hecho, queremos calcular el número total de electrones en $T=0$entonces podemos poner el *2 en $g(k)$ e integrar desde $0$ para $k_f$ o no ponerlo e integrar desde $-k_f$ para $k_f$ (que hicieron). Finalmente habría encontrado el mismo número de electrones que ellos.

PERO todavía tengo una pregunta porque tu comentario me confundió, volveré a explicar por qué quiero poner el *2.

Cuando hacemos cálculos en un sistema 3D, tenemos $g(k,\theta, \phi)=\frac{d^3k}{(\frac{2 \pi}{L})^3}$ que representan el número de estado alrededor $\overrightarrow{k}=(k,\theta,\phi)$ en la caja infinitesimal de tamaño $ dk * k \ sin (\ theta) d \ phi * k * d \ theta. Como todas las direcciones están permitidas para la propagación (es isotrópica), integramos en $k$ y $\theta$por lo que terminamos con $ g (k) = 4 \ pi \ frac {k ^ 2 dk} {(\ frac {2 \ pi} {L}) ^ 3} $. Y lo multiplicamos por 2 para tener en cuenta el giro.

Así que aquí en 3D entendemos que en un momento dado $k$ estamos en un dado $|| \overrightarrow{k}||$ (solo porque por definición $k=|| \overrightarrow{k}||$). Y hemos tenido en cuenta todas las direcciones posibles integrando en $d\theta$ y $d\phi$.

En 1D el caso es diferente porque cuando hablamos de $dk$ estamos en un dado $k$ eso no es una norma de un vector 1D ($k$ puede ser negativo aquí). Entonces tenemos que tener en cuenta manualmente el hecho de que la onda también puede propagarse a lo largo del eje opuesto poniendo un *2.

Esta es la razón por la que quería poner el *2 (lo que finalmente parece ser coherente con mi curso).

[edit 2] También hice el enlace con el comentario de mflynn que en realidad no dice que lo que dije esté mal en el comentario debajo de su mensaje.

1 respuesta
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¡Esto realmente depende de las condiciones de contorno en el problema! Es importante decir qué condiciones de contorno está poniendo en las funciones de onda. Las dos opciones más comunes para un gas de electrones libres son las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno periódicas. Las condiciones de contorno de Dirichlet obligan a las funciones de onda a desaparecer en los bordes de la caja, es decir,

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