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Solución de la ecuación de Friedmann y edad del universo en términos de $H_0$ y $Ω_{(r,0)}$ para un universo abierto/cerrado

Actualmente estoy haciendo un problema que involucra la ecuación de Friedmann para $a

El problema es encontrar la edad de un abierto dominado por la radiación ($k<0$) universo en términos de $H_0$ y y $ Ω_ {r, 0} $.

comencé con

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{k}{a^2}$$

con $\rho=\rho_0(a_0/a)^4$ de la ecuación de fluidos para el universo dominado por la radiación, y $k=-1$.

Mi primera pregunta es: ¿Está mal usar $k=-1$ aunque el problema dice solo $k<0$?

Después de sustituir todo, obtengo:

$$\dot{a}=\sqrt{H_0^2\frac{a_0^4}{a^2}+1} $$

Si esto va por buen camino, mi segunda pregunta es: ¿dónde $ Ω_ {r, 0} $ encajar ahora?

Para un universo dominado por materia, obtengo un resultado similar

$$\dot{a}=\sqrt{H_0^2\frac{a_0^3}{a}+1} $$

pero luego tengo la misma duda con $ Ω_ {m, 0} $.

Probé de otra manera (para un universo dominado por la materia) usando $H^2=(\dot{a}/a)^2$ y obteniendo:

$$H^2=\frac{8\pi G \rho_0}{3}\left(\frac{a_0}{a}\right)^3-\frac{1}{a^2}$$
y después de dividir con $H_0^2$ yo obtengo

$$\left(\frac{H}{H_0}\right)^2=Ω_{m,0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^3+\frac{1}{a^ 2H_0^2}$$
pero nuevamente, no estoy seguro de si esta es la forma correcta de obtener la edad del universo.

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