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Automorfismo y ciclicidad

Dejar $G$ ser un grupo Demuestra que si ${\rm Aut}(G)$ (el grupo de automorfismos de $G$ ) es cíclico, entonces $G$ es abeliano, y si $G$ es además finito, demuestre que $G$ es cíclico.

Necesito la segunda parte de la pregunta.

Para la primera parte, uso este lema

Lema Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Ahora para un grupo $G$Si ${\rm Aut}(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano.

Solución:

supongamos $G$ es un grupo con $\nombre del operador{Aut}(G)$ cíclico. Entonces, considerando el morfismo de conjugación $\gamma: G \rightarrow \operatorname{Aut}(G)$ enviando $g$ al automorfismo interno $x \mapas a gxg^{-1}$tenemos eso $\nombre del operador{ker}(\gamma)=Z(G)$así que eso $G / Z(G) \cong \operatorname{Im}(\gamma) \leq \operatorname{Aut}(G)$y por el punto anterior $G_{1}:=G / Z(G)$ es cíclico. toma un generador $t. Z(G)$ por $G_{1}$fijando un adecuado $t \in G$. Entonces cada elemento $x \in G$ Se puede escribir como $x=t^{n}c$con $c \en Z(G)$ y $n \in \mathbb{Z}$. Ahora demostramos que $t \en Z(G)$así que eso $Z(G)=G$ y $G$ es abeliano. Dejar $x \in G$ y toma el conmutador ps[x, t]=xtx^{-1} t^{-1}$. Escribiendo abajo $x=t^{n}c$obtenemos
$$
[x, t]=t^{n} ctc^{-1} t^{-n} t^{-1}=t^{n+1} cc^{-1} t^{-n-1}=1_{G } $$

porque $c \en Z(G)$. Por lo tanto $t \en Z(G)=G$ y hemos terminado.

Usemos este lema.

Lema. Todo grupo cíclico es abeliano.

Ya que ${\rm Aut}(G)$ es cíclico, tenemos que ${\rm Aut}(G)$ es abeliano.

Por primera parte, tenemos que $G$ es abeliano.

Ya que $G$ es abeliano finito y ${\rm Aut}(G)$ es abelian, necesito deducir que $G$ es cíclico pero me falta el argumento.

estoy pensando en si $G$ es finito y no cíclico, tiene un factor $C_{p^r}$ $C_{p^s}$.

¿Alguien podría ayudarme a terminar el argumento?

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