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ayúdenme con esta integral

Encuentre el valor de $$\int\frac{1+\ln x}{4+x\ln x^2}\mathrm{d}x$$ Entiendo muy mal las integrales donde alguna función de una variable está en el denominador. Sé que tengo que hacer algún tipo de sustitución e incluso lo intenté, pero no puedo obtener ninguna ayuda. Perdóneme si esta es una pregunta muy simple porque soy muy malo en integrales (denominador).

Cualquier ayuda será apreciada.

2 respuestas
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$$x\ln(x^2)=2\cdot x\ln x. $$
Ahora, trata de diferenciar la función $f(x)= x\ln x.$ Entonces, usando la regla del producto, $$\frac{d}{dx}(x\ln x)= x\cdot\frac 1x + 1\cdot \ln x=1+\ln x.$$ Este es el numerador de tu integrando. Por lo tanto, sustituya $x\ln x=u$(también puedes hacer $ 4+2x \ ln x = u $) de modo que $ du = (1+ \ ln x) dx $. Por lo tanto, la integral se convierte en $$\int\frac {du} {4 + 2u} $$ Ahora pon $ 4 + 2 años = t $ de modo que $2du=dt$. Así obtenemos $$ \int \frac{du}{4+2u}=\int \frac{dt}{2t}=\frac 12 \ln t+C= \frac 12 \ln(2u+4)+c= \frac 12 \ln(2x\ln x+4)+C= \frac 12 \ln(x\ln(x^2)+4)+C.$$ dónde $C$ es la constante de integración.

Primera nota que $\ln(x^2)$ es solo $2\ln x$. Entonces, considere una función $f(x) = ln(a+bx\ln(x))$ entonces usted tiene:

$$f'(x) = \frac{b+b\ln(x)}{a+bx\ln x}$$

Ahora, estás en el camino para encontrar tu respuesta.

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