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¿Cómo convertir una elipse general de coordenadas polares a coordenadas cartesianas?

tengo la siguiente ecuacion:

$$a(\alpha)\mathrm{sin}^2(\alpha)-b(\alpha)\mathrm{sin}(\alpha)\mathrm{cos}(\alpha)+c(\alpha)\mathrm {pecado}^2(\alfa)=1$$

Los autores afirman que esta es la ecuación de una elipse como $\alfa$ varía de 0 a 2$\pi$.

Quiero trazar esta elipse en coordenadas cartesianas (x, y), pero no estoy seguro de por dónde empezar y los autores del artículo no dan más detalles. Tenga en cuenta que $a$, $b$y $c$ son funciones conocidas.

Encontré algunas respuestas que hablan sobre la conversión de forma polar a cartesiana (por ejemplo, aquí y aquí y aquí), pero generalmente involucran casos simples que ya están en coordenadas cartesianas o no tienen coeficientes que también son una función de $\alfa$. Siento que una de mis principales confusiones es cómo $\alfa$ se relaciona con la forma paramétrica (si es que lo hace).

Cualquier ayuda es apreciada.

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