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Confusión sobre el sistema q-ary en el análisis matemático de Zorich

Para $p \in \Bbb Z $ se describe un sistema q-ario que asigna a cada número real x en la base q una secuencia de {$\alfa_n$} tal que $\sum_{i=0}^n \alpha_{pi}\cdot q^{pi} \le x \lt q^{pn} + \sum_{i=0}^n \alpha_{pi}\cdot q ^{pi}$ donde $\alpha_{pi} \in \{0,1,\ldots,q-1\}$ y por lo tanto $$ r_n = \alpha_pq^p + \ldots + \alpha_{pn}q^{pn} $$ pero más adelante afirma y prueba que (página 63-64):

Observamos que en virtud del algoritmo que acabamos de describir para obtener los números $\alpha_{p – n} \in \{ 0 , 1 , . . . , q — 1\}$ sucesivamente, no puede ocurrir que todos estos números a partir de algún punto sean iguales a q — 1.

Siendo la prueba:

Si $$ r_n = \alpha_pq^p + \ldots + \alpha_{pk}q^{pk}+(q-1)q^{pk-1}+ \ldots +(q-1)q^{pn} $ ps
para todo n > k, es decir,
$$r_n = r_k + \frac1{q^{kp}} – \frac1{q^{np}}$$
Pero a partir de la definición del sistema $$\sum_{i=0}^n \alpha_{pi}\cdot q^{pi} \le x \lt q^{pn} + \sum_{i=0}^n \alpha_{pi}\cdot q^{pi}$$
por lo tanto $$ r_n \le x < r_n + q^{pn}$$
$$\implica r_k + \frac1{q^{kp}} – \frac1{q^{np}} \le x < r_k + \frac1{q^{kp}}$$
Entonces para cualquier n > k $$ 0 < r_k + \frac1{q^{kp}} -x < \frac1{q^{np}}$$
Lo cual es imposible porque si el número $h \en R$ es tal que 0 $ \ le $ mano $h < \frac1n$ para todos $n \in \BbbN$entonces h = 0. Aquí h es estrictamente mayor que 0.

Pero si este es el caso, ¿qué pasa con el número 9999999 en base 10, que hará que todos $\alfa$ sea ​​q-1 = 10-1 = 9, o cualquier número que tenga 9 después de cierta posición. ¿Cómo se representarán esos números en el sistema?

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Está hablando de infinito que termina en fracciones decimales o su contrapartida en sistema numérico de base $q$.

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