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Conservación de energía, hamiltoniano: dominio de frecuencia vs dominio de tiempo

Tengo una pregunta interesante para comprender la conservación de la energía o las funciones hamiltonianas en el tiempo, la frecuencia y el tiempo (después de la inversión en el tiempo).

Dada una PDE dependiente del tiempo, como la ecuación de onda, Schrödinger o cualquier otra, existen muchos esquemas de discretización que conservan la estructura que se pueden usar para aproximar numéricamente el problema mientras se conserva la energía, el hamiltoniano o cualquier otra cantidad invariable del sistema físico. Supongamos que H

Ahora, si aplicamos la transformada de Laplace, podemos deshacernos de la dependencia del tiempo y obtener un sistema lineal de A(s)x(s)=b(s), que depende de algunos valores de frecuencia ‘s’ . Suponemos que esto es importante para estudiar las propiedades del dominio de la frecuencia.

Suponiendo que realizamos la inversión numérica de Laplace para reconstruir $ \ tilde {H}

En el dominio del tiempo es más fácil garantizar la conservación de la energía utilizando esquemas numéricos que permitan la conservación del hamiltoniano, pero también sería interesante obtener una perspectiva en el dominio de la frecuencia. Y, ¿existen métodos numéricos de inversión de Laplace que permitan tales propiedades de conservación después de la inversión?

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