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Continuidad del operador de solución para la ecuación de calor lineal

Me concentro en la ecuación de calor lineal homogénea.
$$\begin{align*} \partial_{t} u(x,t) &= \partial_{xx} u(x,t), \quad 0

El operador de solución S para este problema asigna un valor inicial dado a la solución (débil) u:
\begin{align*} S: L^2(0,l) &\rightarrow L^2(0,T; H^1(0,l)),\newline u_0(x) &\mapsto u(x, t) \end{alinear*}

Me gustaría demostrar que S es continua. Hasta ahora, ya he visto que S es lineal. Por lo tanto, mi primer intento fue mostrar que S está acotado en $L^2(0,T,H^1(0,l))$ para concluir la continuidad. Desafortunadamente, tampoco puedo demostrar que S está acotado, ya que no sé nada sobre la conexión entre $u$ y $u_0$:
\begin{align*} \int_0^T \rVert u \lVert ^2_{H^1(0,l)} dt \leq C \int_0^l \rvert u_0 \lvert ^2 dx \end{align*}

Alguien me puede dar una pista?

Gracias por adelantado 🙂

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