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¿Cuántos enteros $n$ mayores que $2$ hay tales que la medida en grados de cada ángulo interior de un $n$-ágono regular es un entero par?

cuantos numeros enteros $n$ mas grande que $2$ ¿existen tales que la medida en grados de cada ángulo interior de un $n$-gon es un entero par?

Sé que la medida en grados de un ángulo interior en un $n$-gon se deriva usando la fórmula $\frac{(n-2)\cdot180}{n}$pero no estoy seguro de cómo hacer que ese valor sea un incluso entero. Me separé $180$ en $2$ y $90$y la factorización prima de $90$ es $2\cdot3^2\cdot5$y esto tiene $2\cdot3\cdot2$ factores, o $12$, para ser exacto. Hasta aquí he llegado, ¿cómo puedo proceder?

2 respuestas
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La medida en grados de un ángulo interior de un polígono regular con $n$ lados es
$$\frac{180(n – 2)}{n} = \frac{180n – 360}{n} = 180 – \frac{360}{n}$$
Esta expresión dará un número par siempre que $n$ es un factor de $360$ y $360/n$ no es raro

$\displaystyle \frac{(n-2)180}{n} = 2k \implica $

$\displaystyle (n-2)180 = 2nk \implica $

$\displaystyle (n)(180 – 2k) = 360 \implica $

$ \ estilo de visualización (n) (90 – k) = $ 180.

Ya que $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$tienes eso

$180$ posee $3 \veces 3 \veces 2 = 18$ divisores, incluidos los números $1$ y $180$. Sin embargo, los valores de $n=1$ y $n=2$ debe rechazarse, ya que no se puede tener un polígono con menos de $3$ lados

Cada uno de estos divisores $n$donde $n\geq 3$producirá un valor entero positivo de $k$ tal que

$$(n)(90 – k) = 180.$$

Por lo tanto, debe haber exactamente $16$ distintos valores satisfactorios para $n$.

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