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Derivadas parciales en campo escalar expansión de Taylor

$\nuevocomando{\v}[1]{\mathbf{#1}} \nuevocomando{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \nuevocomando{\dd}[1]{\mathrm{d}#1}$

En nuestras notas de clase derivamos la siguiente fórmula para la expansión de Taylor de un campo escalar:

$$f(\v{r}) = f(\v{r}_0 + \Delta \v{r}) = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j!} (\ Delta \v{r} \cdot \nabla)^jf \, \Big|_{\v{r}=\v{r}_0}$$

yo asumo eso $\Delta \v{r} = \v{r} – \v{r}_0$. Además, se dio el siguiente ejemplo de aplicación:

Expandir el campo escalar $f(\v{r}) = 1/\abs{\v{r}}$ alrededor de un punto $\v{r}_0\neq\v{0}$. Obtenemos $$\parcial_x f = -\frac{1}{2} \frac{2x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = -\frac{x}{\ abdominales{\v{r}}^3}$$ Por simetría, obviamente se sigue que $\nabla f=-\v{r}/\abs{\v{r}}^3$. Así, hasta el término de primer orden, la expansión es $$f(\v{r}_0 + \Delta \v{r}) = \frac{1}{\v{r}_0} – \frac{\Delta \v{r} \cdot \v{r }_0}{\abs{\v{r}_0}^3} + \ldots$$ Tomando la derivada de ese nuevo término: $$\parcial_x \left( -\frac{\Delta \v{r} \cdot \v{r}}{\abs{\v{r}}^3} \right) = -\frac{\Delta x }{\abs{\v{r}^3}} + \frac{3}{2} \frac{\Delta \v{r} \cdot \v{r}}{\abs{\v{r} }^5} 2x$$ $\ldots$

El último paso es donde ya no puedo seguir. Entonces usamos la regla del producto, siendo el numerador y el denominador los dos factores que queremos diferenciar. Así que para el numerador tenemos aparentemente tener

$$\parcial_x (\Delta \v{r} \cdot \v{r}) = \Delta x \tag{1}$$

No veo por qué ese es el caso. La regla del producto para vectores es
$$\frac{\mathrm{d}}{\dd{x}} (\v{a} \cdot \v{b}) = \frac{\dd{\v{a}}}{\dd{ x}} \cdot \v{b} + \v{a} \cdot \frac{\dd{\v{b}}}{\dd{x}}$$

mirando hacia atrás $(1)$, $\Delta \v{r} = \v{r} – \v{r}_0$ y $\v{r}$ son ambas funciones de $x$ (como $\v{r} = (x,y,z)^T$). Por lo tanto, ¿no deberíamos obtener

$$\begin{align*} \parcial_x (\Delta \v{r} \cdot \v{r}) &= \parcial_x \left[ \begin{pmatrix} x – x_0 \\ y – y_0 \\ z – z_0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right] \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x – x_0 \ \ y – y_0 \\ z – z_0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= x + x – x_0 \\ &= x + \Delta x \end{align*}$$

1 respuesta
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La expansión de Taylor escribe
$$ f(\mathbf{r})= f(\mathbf{r}_0) +(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)^T \mathbf{g}_f(\mathbf{r}_0 ) +\frac12 (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)^T \mathbf{H}_f(\mathbf{r}_0) (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) + \ puntos $$

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