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Ejemplos de Subestructuras que «no saben que son esa subestructura»

acabo de aprender $\mathbb{L}\vDash \mathbb{V}=\mathbb{L}$ y se le advirtió que esta propiedad no es obvia con el contraejemplo mencionado siendo $HOD$. Puedo pensar en algunos ejemplos de subestructuras definibles que se comportan como $\matemáticas{L}$. Por ejemplo dado un anillo $R$ el centro de ese anillo $Z(R)$ «sabe» que es un centro desde $Z(R)=Z(Z(R))$. Entonces tendríamos con mucho abuso notacional $Z(R)\vGuión R=Z(R)$. Del mismo modo para un monoide $ millones Si $U(M)$ es el conjunto de todos los elementos invertibles entonces se tendría que $U(M)\vGuión M=U(M)$ ya que $U(M)=U(U(M))$. Para evitar el abuso de notación, ambos ejemplos son un caso en el que se me da una $L$-estructura $ millones satisfaciendo alguna teoría $T$ y hay una formula $\varfi(x)$ y el conjunto $\{x\en M: \varphi(x)\}$ es una subestructura satisfactoria $T$ que denotaré como $ \ varfi (M) $. ¿Cuáles son algunos ejemplos clásicos de $\varphi(\varphi(M))\neq \varphi(M)$ o $\varphi(M)\no\vDash\forall x \varphi(x)$ ?

Podemos llamar a tal proposición idempotente como se sugiere en los comentarios. También sería bueno saber qué propiedades comparte tal oración. Por ejemplo, «x es construible» es $\Delta_1$

Uno que pensé justo antes de publicar fue $(\mathbb{Z},+)$ y $par(x)\equiv \existe y\;\; x=y+y$ entonces $par(\mathbb{Z})=2\mathbb{Z}$ y $par(par(\mathbb{Z}))=4\mathbb{Z}$.

Editar: también agradecería mucho una sugerencia para un título mejor.

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