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¿Existe una matriz B no positiva tal que la traza (AB) no sea positiva si A no es positiva?

Mi pregunta es: Sobre el espacio de $n\veces n$ matrices complejas, ¿existe una matriz B no positiva tal que la traza (AB) no sea positiva si A no es positiva? Entonces, solo para aclarar los términos, una matriz positiva es una hermítica $(A=A^*)$ y todos sus valores propios son no negativos, por lo que un mejor término puede ser semidefinido positivo. Y cuando digo que trace(AB) no es positivo, quiero decir que no es un número real positivo.

Por supuesto si $A$ es una matriz positiva, entonces para cualquier matriz positiva $B$debemos tener que trace(AB) también debe ser positivo como los valores propios de $AB$ son positivos. Ahora si $A$ no es positivo, eso puede significar que es hermitiano pero no todos los autovalores son no negativos, o que ni siquiera es hermitiano. En el primer caso, es fácil encontrar una matriz positiva $B$ tal que trace(AB) es negativo ya que uno de los elementos diagonales de $A$ debe ser negativo (después de un cambio de base).

El caso con el que tengo problemas es si $A$ ni siquiera es hermitiano. En ese caso, no sé qué forma toma, por lo que es casi imposible construir explícitamente una matriz positiva. $B$ dónde $rastreo(AB) < 0$. Podría ser que todos los valores propios de $A$ son positivos, pero $A$ todavía no es hermitiano, por lo tanto no es positivo. No estoy seguro de si hay algún teorema de descomposición que pueda ayudarnos aquí.

1 respuesta
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Nos limitaremos a matrices con valores reales. $A,$ pero admitimos matrices valoradas complejas $B.$

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