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Hallar $\lim \limits _{x\to 1}\frac{3^\frac{x-1}{4}-1}{\sin (5(x-1))}$, sin la regla de l’Hôpital .

Evaluar$$\lim \limits _{x\to 1}\frac{3^\frac{x-1}{4}-1}{\sin (5(x-1))}.$$

Primero intenté sustituir $\frac{x-1}{4}=a$a lo que llegué $\lim\limits _{a\to 1}\frac{3^a-1}{\sin (20a)}$. Trató de sustituir de nuevo con $n=3^a-1$, pero no pudo obtener ningún resultado decente. ¿Alguien puede darme un consejo?

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Ya que $a^x-1\sim x \log(a)$implica que $3^{\frac{x-1}{4}}-1\sim\frac{x-1}{4}\log(3)$ Asi que
$$\frac{3^\frac{x-1}{4}-1}{\sin (5(x-1))}\sim \frac{\log(3)\frac{x-1}{ 4}}{\sin (5(x-1))}=\frac{\log(3)}{4\cdot 5}\frac{5(x-1)}{\sin (5(x-1) ))}\a\frac{\log(3)}{20}$$ como $x\a 1$ ya que $x\sim\sin(x)$

Dejar $t=x-1$por lo tanto, su límite es igual a:
$$\lim_{t \to 0} \frac{3^{\frac{t}{4}}-1}{\sin (5t)}$$
Ahora recuerda que $\frac{\sin u}{u} \to 1$ como $u \a 0$ y $\frac{3^z-1}{z} \to \log 3$ como $z \a 0$ (intenta usar estos límites multiplicando y dividiendo por las mismas cantidades).

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