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Jordan forma canónica $\mod p$ de una matriz de permutación cíclica $p\times p$

Dejar $p$ sea ​​un número primo, considere $V$ un espacio vectorial sobre $\matemáticas{Z}/p$ con base $e_0$, $e_1$, $\ldots$, $e_{p-1}$ y el operador de permutación $T(e_i) = e_{i+1}$, $i$ módulo $p$. El polinomio característico de $T$ es $\lambda^p – 1 = (\lambda-1)^p$y entonces $T$ tiene el valor propio $1$ con multiplicidad $p$. El problema es determinar la forma canónica de Jordan de $T$. Probablemente sea un solo bloque. $J_{p, 1}$. $\bf{Añadido:}$ De hecho, como @Jyrki Lahtonen: señaló, dado que el espacio propio para $\lambda=1$ es $1$ dimensional, atravesado por $e_0+ \cdots + e_{p-1}$solo hay un bloque.

Cómo obtener una base en la que $T$ tiene la forma jordana $J_{p,1}$?

Para $p=2$ es fácil, $p=3$ es sólo un poco de cálculos. Tenga en cuenta que tenemos que usar $p$ es primo si funcionó $ \ mod n $ por arbitrario $n$tendríamos $x^n-1 = (x-1)^n \mod n$no es cierto en general.

Cualquier comentario sería apreciado. ¡Gracias por su atención!

1 respuesta
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Tal base es una base ps[v_0,\dots,v_{p-1}]ps de $V$ para cual $Tv_0=v_0$ y $(T-1)v_{i+1}=v_i$ para todos $0\leq i.

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