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La mejor estrategia para llegar a $ 500 por una situación de juego en un casino

Supongamos que un jugador tiene \$100 para empezar. Cada vez que tiene 0,4 posibilidades de ganar y 0,6 posibilidades de perder una apuesta. Si gana, obtiene el doble del dinero que invirtió y pierde lo que apostó si pierde. El juego se detiene si él/ella tiene \$500 a la mano o se declara en bancarrota (\$0). ¿Qué estrategia elegirá para maximizar la posibilidad de ganar (tener \$500 y renunciar):

(1) Todo en cada vez

(2) Apueste la mitad de la cantidad actual cada vez

(3) Apuesta \$10 cada vez

Mi primer intento es usar el tiempo de parada óptimo para las martingalas para encontrar la probabilidad de salida en $500, pero es una supermartingala y no estoy seguro de cómo aplicar la OPT.

También traté de modelar el problema como una Cadena de Markov bajo cada estrategia. La primera estrategia es fácil. La distribución de salida para la tercera estrategia también es computable. Pero estoy atascado en el segundo.

Creo que puede haber una forma fácil (quizás una forma intuitiva o una forma que simplifique el cálculo) de elegir la mejor estrategia entre las tres.

Editado:

Para la estrategia (1), la probabilidad de ganar es
$$P(\text{ganar}) = P(\text{ganar 3 apuestas seguidas}) = (0.4)^3 = 0.064$$

Para la estrategia (3), como se señaló, es la ruina de un jugador desequilibrado, por lo que
$$P(\text{ganar}) = P(\text{alcanzar \$500 antes de \$0}) = \frac{(0,6/0,4)^{100}-1}{(0,6/0,4)^{500} -1} \aprox. 3.66e-71 $$

Pero para la estrategia (2), hay infinitos estados $$S = \left\lbrace 100\times\left(\frac{1}{2} \right)^n\times \left(\frac{3}{2}\right)^m: \forall n, m \in \mathbf{N}^+,100\times\left(\frac{1}{2} \right)^n\times \left(\frac{3}{2}\right)^m \leq 500 \right\rbrace$$

Una de mis conjeturas es que la posibilidad de quiebra para (1) y (3) es positiva. Sin embargo, se necesitan muchas apuestas infinitas para que la cadena llegue a $0 en (2), por lo que la posibilidad de quiebra es 0.

2 respuestas
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tu resultado de $0.4^3=0.064$ es correcta para la estrategia 1. Como era de esperar, resulta ser mejor que las estrategias 2 o 3, pero no es una versión sensiblemente adaptada de ninguna de las tres estrategias.

El enfoque simple es que el juego es injusto para el jugador, por lo que necesita tener suerte para ganar. Desea apostar la menor cantidad de veces posible para aumentar la varianza, por lo que la modificación $1$ es la mejor ruta.

Para obtener la probabilidad, tienes que ganar los dos primeros o estás acabado. Si ganas el tercero también, ganas. Si pierdes el tercero que tienes $300$. En cada punto del proceso, uno de los resultados es definitivo. Si también pierde el cuarto, está de regreso en el inicio, por lo que puede escribir una ecuación para calcular la probabilidad general.

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