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Números betti persistentes y nacimiento y muerte de clases

Copiaré y pegaré la información de fondo en mi otra pregunta:

Dada una filtración de complejos $\emptyset = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \ldots \subseteq K_n = K$hemos inducido homomorfismos $h^{i,j}_p \colon H_p(K_i) \to H_p(K_j)$ por $i \leq j$.

Los pth grupos de homología persistente son las imágenes de $h^{i,j}_p$.

Y decimos que clase $\phi\in H_p(K_i)$ nace en $K_i$ Si $\phi\notin H^{i-1,i}_p$. Y clase nacida en $K_i$ muere entrando $K_j$ Si $h^{i, j-1}_p(\phi) \notin H_p^{i-1,j-1}$ pero $h_p^{i,j}(\phi) \in H^{i-1,j}_p$

Ahora tenemos lo siguiente:

ingrese la descripción de la imagen aquí

donde $\beta^{i,j}_p$ es el rango de $H^{i,j}_p$la imagen de $h^{i,j}_p$.

El texto dice que $\mu^{i,j}_p$ es el número de clases nacidas en $H_p(K_i)$ que muere en $H_p(K_j)$.

Y $\beta^{i,j-1}_p – \beta^{i,j}_p$ se supone que debe contar el número de clases nacidas en o antes $K_{i-1}$ y morir entrando $X_j$.

lo que no entiendo es que $\beta^{i,j-1}_p – \beta^{i,j}_p$ es el número de clases nacidas en o antes $X_i$ y morir entrando $X_j$.

Y dado que LHS es lo mismo que RHS con $i$ reemplazadas con $i-1$estaría hecho si entendiera lo anterior.

Gracias.

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