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Obtención de una fórmula explícita para una conexión aplicada a una estructura casi compleja

Dejar $(M,J)$ ser una variedad casi compleja y $ \ nabla $ ser una conexión en $TM$. Estoy tratando de ver cómo podemos obtener una fórmula explícita para $\nabla_X J$. Sé que la manera de extender $ \ nabla $ a una conexión en $T^*M$ es definiendo para $\alfa\in\Gamma(T^*M)$, $\nabla_X(\alpha)(Y):= X(\alpha(Y)) – \alpha(\nabla_X Y)$y en $T^*M \otimes TM$ podemos extender $ \ nabla $ a $\nabla_X (\alpha \otimes Y):= (\nabla_X \alpha) \otimes Y + \alpha \otimes (\nabla_X Y)$.

Más lejos, $J \in \Gamma(\textrm{Fin}(TM))$así que en realidad $J \in \Gamma(T^*M \otimes TM)$. Pero no puedo ver cómo deducir de las extensiones anteriores una fórmula real para $\nabla_X J(\alpha \otimes Y)$ en términos de solo $J, \alpha, \nabla_X Y, X, Y$.

Uno de los problemas con esto es que no sé escribir $J$ como elemento en $T^*M \otimes TM$ excepto en coordenadas locales, donde la cosa se pone fea. ¿Hay alguna forma de evitar las coordenadas locales? ¿Cómo sería una derivación de una expresión para $\nabla_X J$ ir en cualquier caso?

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para cualquier campo vectorial $Y$ y campo covector $\alfa$, $\alfa(J(Y))$ es una función suave. Dado que la derivada direccional $\nabla_X$ conmuta con contracción, tenemos:
\begin{align} X(\alpha(J(Y)) &= \nabla_X(\alpha(J(Y))) \\ &= (\nabla_X \alpha) (J(Y)) + \alpha(( \nabla_XJ)(Y)) + \alpha(J(\nabla_XY)) \end{alinear}
Por lo tanto $\nabla_X J$ es la sección de $\nombre del operador{Fin}(TM)$ tal que:
$$\alpha((\nabla_XJ)(Y)) = X(\alpha(J(Y)) – (\nabla_X \alpha) (J(Y)) – \alpha(J(\nabla_XY)) $$

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