Estoy leyendo una prueba del resultado de que cada elemento de la primera homología es una variedad triple cerrada y orientada $ millones puede ser representado por un nudo en $ millones. Este parece ser un resultado bastante estándar, pero tengo problemas para entender la siguiente línea:
Desde tenue $ millones=3, cualquier mapa $f: M \to \mathbb{CP}^\infty$ es homotópico a un mapa suave $f_0:M \a \mathbb{CP}^1$.
Para el contexto, estoy leyendo de la p. 107 (Proposición 3.4.2) de Geiges’ Introducción a la Topología de Contacto. Al principio, pensé que la declaración anterior se deriva del hecho de que $\mathbb{CP}^\infty = K(\mathbb{Z},2)$ y $f: M^n \a S^k$ es homotópico nulo cuando $k > n$; sin embargo, debo estar perdiéndome algo, porque también estoy confundido por un comentario posterior que dice que
no es cierto que ps[M, \mathbb{CP}^\infty] = [M, \mathbb{CP}^1]psya que un mapa $F: M \veces [0,1] \a \mathbb{CP}^\infty$ no es, en general, homotópico rel$(M \veces \{0,1\})$ a un mapa en $\mathbb{CP}^1$. Sin embargo, tenemos ps[M, \mathbb{CP}^\infty] = [M, \mathbb{CP}^2]ps.
¿Le importaría a alguien explicar por qué la afirmación de la homotopía es cierta y por qué ese razonamiento podría llevar a alguien a la mala interpretación que el comentario está evitando?
1 respuesta
Dejar $X$ y $Y$ ser complejos CW. Un mapa $\varphi : X \a Y$ se llama celular Si $\varphi(X^{(k)}) \subseteq Y^{(k)}$ para todos $k$; aquí $X^{(k)}$ y $Y^{(k)}$ denota el $k$-esqueletos de $X$ y $Y$ respectivamente.
