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¿Por qué cualquier mapa $f:M \to \mathbb{CP}^\infty$ es homotópico a un mapa $f_0:M \to \mathbb{CP}^1$ si $M$ es una variedad de 3?

Estoy leyendo una prueba del resultado de que cada elemento de la primera homología es una variedad triple cerrada y orientada $ millones puede ser representado por un nudo en $ millones. Este parece ser un resultado bastante estándar, pero tengo problemas para entender la siguiente línea:

Desde tenue $ millones=3, cualquier mapa $f: M \to \mathbb{CP}^\infty$ es homotópico a un mapa suave $f_0:M \a \mathbb{CP}^1$.

Para el contexto, estoy leyendo de la p. 107 (Proposición 3.4.2) de Geiges’ Introducción a la Topología de Contacto. Al principio, pensé que la declaración anterior se deriva del hecho de que $\mathbb{CP}^\infty = K(\mathbb{Z},2)$ y $f: M^n \a S^k$ es homotópico nulo cuando $k > n$; sin embargo, debo estar perdiéndome algo, porque también estoy confundido por un comentario posterior que dice que

no es cierto que ps[M, \mathbb{CP}^\infty] = [M, \mathbb{CP}^1]psya que un mapa $F: M \veces [0,1] \a \mathbb{CP}^\infty$ no es, en general, homotópico rel$(M \veces \{0,1\})$ a un mapa en $\mathbb{CP}^1$. Sin embargo, tenemos ps[M, \mathbb{CP}^\infty] = [M, \mathbb{CP}^2]ps.

¿Le importaría a alguien explicar por qué la afirmación de la homotopía es cierta y por qué ese razonamiento podría llevar a alguien a la mala interpretación que el comentario está evitando?

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Dejar $X$ y $Y$ ser complejos CW. Un mapa $\varphi : X \a Y$ se llama celular Si $\varphi(X^{(k)}) \subseteq Y^{(k)}$ para todos $k$; aquí $X^{(k)}$ y $Y^{(k)}$ denota el $k$-esqueletos de $X$ y $Y$ respectivamente.

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