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¿Por qué el conjunto $\{ W_\cdot(\omega)$ es localmente $\alpha$-Hölder en algún $s\in[0,1]\}$ contenido en esta desordenada intersección/unión de conjuntos medibles?

Meta

El objetivo es probar que para cualquier $\alfa>\frac{1}{2}$, $\mathbb{P}$-casi todos los caminos brownianos no están en ninguna parte ps[0,1]ps localmente Hölder-continuo de orden $\alfa$.

Dejar $W$ sea ​​BM estándar, lo vemos como una función continua para una realización $\omega$: $W_t(\omega)\in C\big([0,1]\grande)$.
Para ello dejamos $M\en\mathbb{N}$ tal que $M(\alfa-1/2)>1$. Si $W_\cdot(\omega)$ es localmente $\alfa$-Titular en $s\in[0,1]psentonces existe una constante $C$ con $|W_t(\omega)-W_s(\omega)|\leq C|ts|^\alpha$ por $t$ cerca $s$. Entonces para lo suficientemente grande $n$, $k/n$ cerca $s$y $ millones índices sucesivos $k$se mantiene $|W_{k/n}(\omega) – W_{(k-1)/n)}(\omega)|\leq C n^{-\alpha}$.
Por lo tanto el conjunto $\{W_\cdot(\omega)$ es localmente $\alfa$-Titular en algunos $s\in[0,1]ps está contenido en el siguiente conjunto:
$$ A:=\bigcup_{C\in\mathbb{N}}\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\bigcap_{n\geq m}\bigcup_{k=0,\dots,nM}\ bigcap_{j=1}^M \left\{ \big|W_{(k+j)/n}(\omega)-W_{(k+j-1)/n}(\omega)\big|\ leq C\frac{1}{n^\alpha}\right\} $$

Entonces podemos seguir demostrando que $\matemáticas{P}[A]=0$por eso $\mathbb{P}$-casi todos los caminos brownianos no están en ninguna parte localmente $\alfa$-Poseedor.


Pregunta

¿Cómo puedo convencerme de la inclusión?

El conferenciante lo miró como si fuera trivial, pero no veo por qué. Puedo ver que las dos primeras uniones (sobre $C$ y $m$) están ahí para tener en cuenta todos los posibles $C$ en la desigualdad de Hölder y todo $m$ que se utilizan como límite inferior de $n$. No puedo entender las otras intersecciones/uniones. Si alguien puede darme intuición sobre todas las operaciones, estaría increíblemente agradecido.

1 respuesta
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Suponer que $f \in C[0,1]ps es localmente Titular continuo de orden $\alfa$ a $s\in [0,1/2]ps (el caso en que $s>1/2$ es similar). Entonces existe $\delta>0$ y $C_1<\infty$ tal que $|f
$$|f((k+j)/n)-f(s)| \le C_1(j/n)^\alpha \,.$$
Un límite similar se mantiene cuando reemplazamos $j$ por $j-1$y la desigualdad del triángulo da como resultado
$$|f((k+j)/n)-f((k+j-1)/n)| \le 2C_1 M^\alpha (1/n)^\alpha \,.$$

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