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Prueba de los factores principales del discriminante en $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$

Así que entiendo que hay (hasta $\pm$) exactamente dos elementos primitivos (sin factores enteros racionales) $\alpha_1 ,\alpha_2 \in \mathcal{O}_K$ tal que la unidad fundamental $ \ varepsilon $ de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ es $$\varepsilon= \frac{{\alpha_1}^2}{N(\alpha_1)}=\frac{{\alpha_2}^2}{N(\alpha_2)}$$
De hecho, se puede demostrar que estos son $\alpha_1=\frac{1+\varepsilon}{n}$ y $\alpha_2=\frac{1-\varepsilon}{m}$ donde $m,n \in \mathbb{N}$ se eligen de modo que los elementos sean primitivos. Sin embargo, ya he leído a menudo que además $$N(\alpha_1) \cdot N(\alpha_2)\en \{d,4d\}$$ con el segundo caso que ocurre si y sólo si $d\equiv 3 \pmod 4$ y $2 \nmid N(\alpha_1)$. Sin embargo, no he encontrado una prueba de esto en ninguna literatura y no puedo encontrar una por mí mismo. Lo mejor que consigo es que $N(\alpha_1) \cdot N(\alpha_2)= k^2 \cdot d$ por algún entero $k$ y ni siquiera veo dónde y por qué se distinguen los dos casos. ¿Alguien puede explicar cómo probar este hecho o referirse a la literatura donde esto se prueba? Gracias de antemano a cualquiera que se tome su tiempo de su día para ayudarme 🙂

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Esto solo funciona para unidades con norma $+1$. En este caso, Hilbert 90 nos dice que hay una $\alfa \en K^\veces$ tal que $\varepsilon = \alpha^{1-\sigma} = \frac{\alpha}{\alpha^\sigma} = \frac{\alpha^2}{N\alpha}$. Este $\alfa$ es único hasta factores racionales. Pero si $ \ varepsilon $ es fundamental, entonces también lo es $ – \ varepsilon$y obtienes una segunda representación al multiplicar la primera por $-1 = \sqrt{d}^{1-\sigma}$. Ya que $d$ es libre de cuadrados excepto posiblemente por un factor $4$Esto es lo que quieres.

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