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Relación entre la ecuación del calor y el movimiento browniano.

Considere la ecuación del calor $$\frac{\parcial u}{\parcial t}=\frac{1}{2}\frac{\parcial^2u}{\parcial x^2}$$ con la condición inicial $u(0,x)=f(x)$. Cualquier función de la forma $ E_ {x} [f(B_t)]psdónde $B_{t}$ representa el proceso estocástico (la posición de una partícula que experimenta un movimiento browniano) en el tiempo t, satisfará la ecuación de calor sujeta a esa condición inicial. La prueba también está ahí, pero no puedo entender la intuición física detrás de ella. Estoy considerando que el calor está en forma de pequeños paquetes. Entiendo que los átomos del material están fijos y transfieren los paquetes de calor a los átomos vecinos en direcciones aleatorias que conducen al movimiento browniano de los paquetes de calor.

Tengo una explicación (aunque no está completa). Supongamos que hay 2 bloques del mismo metal con la misma masa y volumen. La temperatura de un bloque es de 30 grados y otra de 60 grados. Después de algún tiempo, en el equilibrio la temperatura será de 45 grados. Creo que algo similar está pasando aquí también.

$B

¿Es correcta esta explicación? Además, ¿por qué este promedio determina la temperatura?

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