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¿Se puede probar la desigualdad de Cauchy Schwarz utilizando la desigualdad de Jensen?

Después de leer un comentario sobre Si $ mathrm {E} | X | ^ 2 $ existe, entonces $ mathrm {E} X $ también existe, me pregunto si la desigualdad de Cauchy Schwarz se puede probar usando la desigualdad de Jensen.

2 respuestas
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Aquí hay dos de esas pruebas.

  1. Una forma estándar de probar la desigualdad de Hölder se deriva de la desigualdad de Young, que se deriva de AM / GM, que puede demostrarse a partir de la desigualdad de Jensen aplicada a la convexidad de $ x mapsto e ^ x $. Si toma esa prueba de Hölder y la especializa en el caso $ p = q = 2 $, tendrá una prueba de Cauchy-Schwarz que está en la raíz de la convexidad.

  2. Creo que este es un poco menos conocido. Considere dos funciones $ f $ y $ g $ (en $[0,1]$, digamos, o $ {1, dotsc, n } $ para el caso de la secuencia). Defina $$ F = frac {f} { | f | + | g |} quad text {y} quad G = frac {g} { | f | + | g |} $$ donde $ | cdot | $ es la norma $ L_2 $. (No asumimos que es una norma; de hecho, probaremos la desigualdad del triángulo). Tenga en cuenta que $ | F | + | G | = 1 $, por lo que podemos usarlos como coeficientes en una combinación convexa . Según la desigualdad de Jensen y la convexidad de $ x mapsto x ^ 2 $, $$ (f + g) ^ 2 = left ( | F | frac {f} { | F |} + | G | frac {g} { | G |} right) ^ 2 le | F | left ( frac {f} { | F |} right) ^ 2 + | G | left ( frac {g} { | G |} right) ^ 2 = frac {f ^ 2} { | F |} + frac {g ^ 2} { | G |} $$ Integrando rendimientos $$ | f + g | ^ 2 le frac { | f | ^ 2} { | F |} + frac { | g | ^ 2} { | G |} = | f | grande ( | f | + | g | grande) + | g | grande ( | f | + | g | big) = big ( | f | + | g | big) ^ 2 $$ Al expandir las expresiones más a la izquierda y a la derecha, obtenemos $$ | f | ^ 2 + 2 langle f, g rangle + | g | ^ 2 le | f | ^ 2 + 2 | f | | g | + | g | ^ 2 $$ y simplificando produce Cauchy-Schwarz. (Esta prueba se generaliza fácilmente para dar la desigualdad de Minkowski sin pasar por Hölder; lo aprendí de Garling Desigualdades: un viaje hacia el análisis lineal (Cambridge UP, 2007).)

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