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Serie de Maclaurin de $\frac{x^2}{1- x \cot x}$

Me pregunto si hay una fórmula explícita para la expansión de Maclaurin de $\frac{x^2}{1 – x \cot x}$. Conocemos una fórmula explícita para $1- x \cuna x$.

Debido a la fórmula de la fracción continua para $\tan x$sabemos que todos los coeficientes después del primero son negativos.

$\bf{Añadido:}$ Fui llevado a esta pregunta al tratar de probar que en la expansión de Maclaurin de $ \frac{x^2}{1 – x \cot x} + \frac{3}{5} ( 1 – x \cot x) – 2 $ todos los coeficientes son positivos. Como tenemos fórmulas para la expansión del segundo término, estamos interesados ​​en fórmulas explícitas para la expansión del primer término.

$\bf{Añadido:}$ Tenemos la fracción continua
$$\frac{x^2}{1 – x \cot x} = 3 – \frac{x^2}{ 5 – \frac{x^2}{ 7 – \cdots} } $$
siguiente fácilmente de la fracción continua para $\tan x$.

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Usando las funciones de Bessel, encontramos
\begin{align*} \frac{{x^3 }}{{1 – x\cot x}} & = 3 – x\frac{{J_{5/2} (x)}}{{J_{3 /2} (x)}} = \frac{3}{2} + x\frac{{J’_{3/2} (x)}}{{J_{3/2} (x)}} = 3 – 2x^2 \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{1 – (x/j_{3/2,k}^2 )^2 }}} \\ & = 3 – 2x^2 \sum\limits_{k = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{j_{3/2,k}^{2n} }}x^{2n} } } = 3 – 2x^2 \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1} {{j_{3/2,k}^{2n} }}} } \right)x^{2n} } \\& = 3 – 2x^2 \sum\limits_{n = 0}^\infty {\ sigma _{2n} \!\left( \tfrac{3}{2} \right)x^{2n} }, \end{align*}
donde $j_{3/2,k}$ denota el $k$º cero positivo de $J_{3/2}$ y $\sigma_n$ es la función de Rayleigh de orden $n$. Si $ n \ geq 1 $podemos escribir
$$ \sigma _{2n} \!\left( {\tfrac{3}{2}} \right) = ( – 1)^{n – 1} 3 \cdot 2^{2n – 1} \frac{ {V_{2n} }}{{(2n)!}}, $$
donde $V_n$ es el $n$Número de van der Pol. Consulte este documento para conocer las propiedades de estos números, incluidas las relaciones de recurrencia. En particular, su función generadora es la ecuación $(d)$ en la sección $1$.

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