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Si toda imagen homomórfica de un módulo inyectivo también es inyectivo, entonces todo submódulo de un módulo proyectivo es proyectivo

Dejar $R$ ser un anillo con $1$. Todos los módulos considerados en este problema son derechos unitarios $R$-módulo.

Suponga que cada imagen homomórfica de un módulo inyectivo también es inyectivo. Necesito probar que todo submódulo de un módulo proyectivo también es proyectivo.

¿Cómo probar esta afirmación? Necesito alguna pista. Traté de probarlo usando la definición de la proyectividad: Sea $ millones ser proyectivo y $N\leq M$ cualquier submódulo. Necesitamos demostrar que $N$ es proyectivo. Dejar $\fi:B\a C$ ser cualquier epimorfismo de módulos y $\theta:N\a C$. Necesitamos encontrar $\psi: N\a B$ tal que $\phi\psi=\theta$.

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Puede concluirlo fácilmente a partir de la siguiente caracterización de la proyectividad.

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