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Solución de la ecuación de Klein-Gordon en el espacio de momento

Estoy resolviendo la ecuación de Klein-Gordon para obtener la expresión del campo escalar

$$(\parcial^2 + m^2)\phi=0$$

amplío la solución $\fi$ en la integral de Fourier en el espacio de cantidad de movimiento

$$\phi =\int\frac{d^4p} {(2\pi)^4}\varphi(p)e^{- i\langle p,x\rangle} $$

dónde $\langle p,x \rangle = p^0t-(p^1x^1 + p^2x^2 + p^3x^3)$. Sustituyendo en la ecuación da

$$\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(-p^2 + m^2)\varphi(p)e^{-i \langle p, x \rangle}=0 \implica (-p^2 + m^2)\varphi(p)=0$$

Allí un libro cuenta que la solución de una ecuación algebraica obtenida es $\varphi(p) = 2\pi\delta(m^2-p^2)\bar\varphi(p)$. Tengo algunas dificultades para entender un par de puntos considerando esto.

Dado que obtuvimos una solución en términos de distribuciones, entonces la ecuación se considera en el espacio de distribución, y tal resultado está vinculado de alguna manera con un resultado conocido $xf(x) = 0 \implica f(x) = C \delta(x)$.

Entonces, los puntos son:

  1. Si tengo razón y la ecuación se resuelve en términos de distribuciones, ¿por qué hay una función? $\bar\varphi(p)$ depende de $p$ en lugar de constante $C$?
  2. Hay ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales usando la expansión en la integral de Fourier, y una ecuación algebraica se resuelve como una ordinaria. Entonces, ¿hay alguna regla que indique que la ecuación debe resolverse en términos de distribuciones o simplemente como una ordinaria?

2 respuestas
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Como me he enterado por internet:

La forma de interpretar la solución. $(m^2-p^2)\varphi(p)=0$ es que para cada valor de $p$o $\varfi(p)=0$ o $(m^2-p^2)=0$ (o ambos). Esto implica que el integrando de la integral de Fourier $\varphi(p)e^{- i\langle p,x\rangle} $ desaparece cada vez que $(m^2-p^2)\ne 0$. La función delta codifica esa propiedad. Nos quedamos con una arbitraria $\bar\varphi(p)$ cuando $(m^2-p^2)=0$que debe estar determinada por las condiciones iniciales, por ejemplo, una solución de onda plana $e^{i (m tp\hat k \vec x)}$ con $\que k$ siendo un vector dirección unitario.

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