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Teorema del grupo abeliano finito que contiene cierto subgrupo

Esto es lo que quiero mostrar:

Sea $G$ un grupo abeliano finito. Si $G$ no es cíclico, entonces $G$ contiene un subgrupo isomorfo a $Z_p \times Z_p$ para algún primo p.

El siguiente intento es lo que obtuve de las horas de oficina. Esto es lo que tengo:

Prueba:

El Thm 11.5 dice que $Z_m \times Z_n$ es cíclico si y solo si m y n son primos relativos

Thm 11.12 dice que todo grupo abeliano G finitamente generado es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma:

$Z_{(p_1^{r_1})} \veces Z_{(p_2^{r_2})} \veces …$

donde $p_i$ son números primos (no necesariamente distintos) y $r_i$ son números enteros positivos

Entonces, G debe tener un subgrupo isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma $Z_(p_1^{r1}) \times Z_(p_2^{r_2})$

¿Por qué esto sigue desde 11.12?

Entonces por 11.5, sabemos $p_1 = p_2$. Si $p_i$ en 11.12 fueran todos diferentes, entonces todos serían primos entre sí –> G es cíclico.

¿Por qué significa esto que el subgrupo de G es isomorfo a $Z_{(p_1^{r_1})} \times Z_{(p_1^{r_2})}$ tiene p1 = p2? Parece que esta es una declaración general sobre la forma de G en Thm 11.12, no el subgrupo del que estamos hablando…

Todo lo que queda es encontrar un subgrupo de $Z_{(p^{r_1})} \times Z_{(p^{r_2})}$ que sea isomorfo a $Z_p \times Z_p$. $\langle p^{(r_1-1)}\rangle \times \langle p^{(r_2-1)}\rangle$ es isomorfo a $Z_p \times Z_p$.

¿Por qué es esto cierto? Creo que $Z_p \times Z_p$ tiene elementos $p^2$ y $\langle p^{(r_1-1)}\rangle\times \langle p^{(r_2-1)}\rangle$ tiene $( r_1-1) * (r_2-1)$ elementos. ¿Dónde me estoy equivocando?

¡Gracias por la ayuda!

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Probablemente sea mejor si lee solo los teoremas necesarios de una prueba por primera vez y trata de resolver el resto por su cuenta.

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