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Teorema del valor medio para varias variables

Consulte el teorema del valor medio establecido aquí: MVT.

Tenga en cuenta que el MVT establecido allí requiere que el segmento que conecta $x$ y $y$ se encuentre en $G$. Claramente, MVT funciona para cualquier par de puntos si $G$ se convierte en convexo conjunto abierto.

Aquí están mis preguntas:

  1. ¿Qué sucede si $G$ no es convexo, sino conexo? Mirando la prueba de MVT, creo que MVT seguirá funcionando siempre que haya una ruta (un mapa continuo) de $x$ a $y$. Y este es el caso en un conjunto conexo. ¿Tengo razón al pensar esto?
  2. Supongamos que la respuesta a (1) es sí. (Por supuesto, si me equivoco en (1), ignore esta pregunta). Suponga que $G$ está abierto y conectado y sea $x,y \in G$. Entonces hay algún camino (no necesariamente un segmento de línea) que conecta $x$ y $y$ en $G$. MVT garantiza que hay un $z$ en este camino tal que $$f(x) – f(y) = \nabla f(z) \cdot (x – y).$$ ¿Podemos decir algo sobre la distancia entre $z$ y los puntos $x$,$y$? Si la ruta es un segmento de línea, entonces ciertamente, $$|xz|\leq |xy| \quad \text{y} \quad |yz| \leq |xy|.$$ Si el camino no es un segmento de línea, ¿qué sucede?

1 respuesta
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¿Se cumple el teorema del valor medio en el espacio vectorial si $ desde $ en el segmento de línea que conecta $x$ y $y$? Es decir, la siguiente ecuación,
$$ f(y)-f(x)=f(z)^{ \prime}\cdot (yx) $$
donde $z=(1-c)x+cy$ y $0\la c\la 1$.

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